歷史上天才的世界里，數(shù)學與藝術(shù)領(lǐng)域的跨界人物頻出，如提出“萬物皆數(shù)”的畢達哥拉斯，把造型藝術(shù)與幾何學相連的阿爾貝蒂、達·芬奇和丟勒，“音樂家中的數(shù)學家”巴赫，“數(shù)學王子”高斯……筆者剛出版的《數(shù)學與藝術(shù)》一書，正是沿歷史軌跡，探究數(shù)學與藝術(shù)的關(guān)系的作品。

公元前11世紀，周公在洛水北岸建造了洛陽，后來成為東周國都。與周公同時代的大夫商高是西周初年的數(shù)學家，他率先指出了第一組勾股數(shù)：“勾廣三，股修四，徑隅五。”這是勾股定理的特例，后者是中國數(shù)學家的獨立發(fā)現(xiàn)，比古希臘的畢達哥拉斯定理要早。據(jù)中國最早的數(shù)學典籍之一《周髀算經(jīng)》記載，一次周公在鎬京問商高：“聽說大夫擅長數(shù)學。天沒有臺階可攀登，地又不能用尺寸測量，請問數(shù)是怎樣得來的？”商高回答：“數(shù)是根據(jù)圓和方的道理得來的，圓從方來，方又從矩來，矩是依據(jù)乘法表來的。”周公曰：“大哉言數(shù)！”

而在美國紐約哥倫比亞大學，編號普林頓322號的泥板書則顯示，巴比倫人在此之前已經(jīng)知道了勾股數(shù)組，其中最小的一組為（45、60、75），恰好是商高給出的那組數(shù)的15倍。上述例子或許可以說明，勾股數(shù)（畢達哥拉斯數(shù)組）可能是人類最早發(fā)現(xiàn)的自然數(shù)奧妙之一。同樣，數(shù)學可能是自然科學中最早出現(xiàn)的兩門學科之一，另一門是天文學。在古代，天文學家與數(shù)學家每每合二為一，正如戲劇家與詩人常常是同一個人。

數(shù)學誕生于游牧時代，那時人們的主要財產(chǎn)是牲畜。為了計算它們的只數(shù)，人們便學會了計數(shù)，繼而學會了加法和減法。而在藝術(shù)史上，最古老的創(chuàng)作形式可能要數(shù)巖畫。

1879年和1940年，一對西班牙父女和四位法國兒童先后發(fā)現(xiàn)了15000年前的史前巖畫，分別是在西班牙北部的阿爾塔米拉巖洞和法國南方的拉斯科巖洞里。巖洞墻壁上刻畫有許多野牛、長毛象和馴鹿等動物，它們是冰河時代人類用石頭或骨頭工具完成的。而在我國大西北，寧夏回族自治區(qū)中衛(wèi)市的黃河北岸，方圓400多平方千米的大麥地巖洞里，也有一萬多幅史前巖畫，大多屬于舊石器晚期到新石器時代。

學者們猜測，那些原始狩獵者認為，只要他們畫了狩獵圖，用長矛或石斧痛打一番，真正的野獸便會束手就擒。顯而易見，數(shù)學和藝術(shù)都源于人類生存的需要。那么它們在歷史的長河里是如何發(fā)展、相遇而又碰撞的呢？這是本書想要探討的。

正如代數(shù)與時間藝術(shù)——音樂有著較為密切的關(guān)系，空間藝術(shù)——繪畫也與幾何相互作用。不同時期的繪畫與幾何之間，又存在著不一樣的相互關(guān)系。例如，文藝復(fù)興藝術(shù)與歐氏幾何、畢加索的立體主義與非歐幾何、后現(xiàn)代主義藝術(shù)與分形幾何。

20世紀美國數(shù)學史家克萊因認為，“文藝復(fù)興是數(shù)學精神的復(fù)興”。文藝復(fù)興時期的意大利畫家達·芬奇也承認，“只有緊緊地依靠數(shù)學，才能穿透那琢磨不透的思想迷魂陣”。也正因為文藝復(fù)興打通了數(shù)學與藝術(shù)的界限，才使得接下來的17世紀成為“天才的世紀”，且有多位橫跨文理的巨人。以至于英國哲學家懷特海在列舉了諸多偉大發(fā)現(xiàn)之后感嘆道，“這個世紀可以說是時間不夠，沒法把天才人物的重大事件擺布開來”。

相比之下，音樂與數(shù)學的關(guān)系更為隱秘，但歷史卻更悠久，肇始于畢達哥拉斯。有一天他走過一家鐵匠鋪，聽到叮叮當當?shù)穆曇簦?jīng)過研究，他發(fā)現(xiàn)了音程之間與數(shù)的關(guān)系，提出了“萬物皆數(shù)”的哲學論斷。而在18和19世紀，德國中部哈茨山南北兩側(cè)，兩座對稱的小城相繼誕生了“音樂之父”巴赫和“數(shù)學王子”高斯。前者被譽為“音樂家中的數(shù)學家”，后者的數(shù)學發(fā)現(xiàn)有著天籟般的音樂之美。而與巴赫同代的瑞士數(shù)學家歐拉則撰寫了《音樂新理論的嘗試》，提出了音網(wǎng)概念，如今仍應(yīng)用于和聲學研究。

高斯是非歐幾何學三位發(fā)現(xiàn)者之一，另一位發(fā)現(xiàn)者、匈牙利數(shù)學家鮑耶生前籍籍無名，卻有一句話流傳后世：從虛無中，我開創(chuàng)了一個新的世界。非歐幾何學大大拓展了數(shù)學研究領(lǐng)域，它與歐氏幾何的最大區(qū)別在于公理體系中大膽采用了不同的平行公設(shè)。在黎曼幾何中，球面上的直線是大圓（圓心在球心），兩點間最短距離是過這兩點的大圓上的弧。例如，從上海飛紐約的最短航線不是經(jīng)過太平洋，而是經(jīng)過北冰洋。愛因斯坦的廣義相對論原理也在于此，引力源于時空彎曲，光沿著彎曲的弧線傳播。

鮑耶去世前四年，奧地利醫(yī)生弗洛伊德出生了，他后來創(chuàng)立了精神分析學，對現(xiàn)代主義藝術(shù)進行細致的剖析。《癔病研究》是作家們所謂自動寫作法的延伸，而《夢的解析》是一部劃時代意義的巨著，書中分析了夢的基本活動，認為夢是以扭曲的形式體驗到的被禁止的欲望，所有的玩笑都有認真的成分。弗洛伊德還給出了力比多和本我、自我、超我等概念，為潛意識學說奠定了基礎(chǔ)，堪稱人類認識自身的里程碑。

進入20世紀以來，抽象化成為數(shù)學和藝術(shù)的共性，以它們的兩個分支——拓撲學和抽象代數(shù)、超現(xiàn)實主義和表現(xiàn)主義為例，說明共性和個性的存在。拓撲學有著華麗的幾何外表，而抽象代數(shù)充斥著理性符號。在同時代的諸多現(xiàn)代主義藝術(shù)流派中，也有兩個風格特征頗為相似，那便是載歌載舞的超現(xiàn)實主義和含蓄內(nèi)斂的表現(xiàn)主義。有趣的是，弗洛伊德遺產(chǎn)的繼承人、法國哲學家拉康不僅用語言學重新闡釋弗氏學說，還把拓撲學和集合論作為精神分析學優(yōu)先研究的外部對象。

說到數(shù)學和藝術(shù)的關(guān)系這個主題，許多科學家和藝術(shù)家都做過不同程度的探討。他們更關(guān)注數(shù)學和藝術(shù)的外在形式，比如對稱之美（也有的在方法論上做過探究）。而對于從數(shù)學和藝術(shù)的發(fā)展歷程來揭示它們之間的相似性和本質(zhì)屬性，似乎還沒有人做系統(tǒng)的闡釋。本書是這方面的一次嘗試。幸運的是，本人在數(shù)學和藝術(shù)兩方面都做了長時間的實踐和探索，有著第一手的經(jīng)驗和認識，加以適當?shù)奶釤捄涂偨Y(jié)，便寫成了這本小書，期待各方讀者的批評指正。

來源：《中國科學報》