程娟 （1984-）

女，湖北黃岡人，碩士研究生，研究方向?yàn)榍袚Q系統(tǒng)、時(shí)滯依賴、極點(diǎn)配置、魯棒控制。

摘要：本文研究了一類具有圓盤(pán)極點(diǎn)約束的不確定線性切換系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問(wèn)題.對(duì)此類系統(tǒng)設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)的所有極點(diǎn)均位于一個(gè)給定的圓盤(pán)中，并得到了一個(gè)基于LMI的充分條件.通過(guò)求解線性矩陣不等式，可以構(gòu)造一個(gè)具有較小反饋增益參數(shù)的狀態(tài)反饋控制器.最后的仿真算例證明了本文結(jié)果的有效性。

關(guān)鍵詞：切換系統(tǒng)；魯棒控制；極點(diǎn)配置；狀態(tài)反饋

Abstract: The robust stabilization for uncertain linear switched systems with disk polo
 constraints is studied in this paper,. State feedback controller is designed so that the
poles of the closedloop system can be assigned in a prespecified disk. A sufficient 
condition based on LMI is therefore obtained. The problem of designing the controllers with
 smaller gain parameters is solved based on LMI conditions. The simulation shows the 
validity of the results.

Key words: switched systems; robust control; pole assignment; state feedback

1 引言

    切換系統(tǒng)由于其廣泛的應(yīng)用背景得到了極大的關(guān)注，主要集中在切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒鎮(zhèn)定問(wèn)題的研究上，對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)設(shè)計(jì)反饋控制器的一個(gè)基本要求就是將極點(diǎn)配置在指定的位置上，從而保證閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性和穩(wěn)定性。近年來(lái)對(duì)具有極點(diǎn)約束的不確定系統(tǒng)的研究已經(jīng)有很多結(jié)果成果[1-3]，文獻(xiàn)[5]將一類不確定閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在一個(gè)給定圓盤(pán)中，并設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，文獻(xiàn)[6]討論了一類具有閉環(huán)極點(diǎn)約束的線性離散系統(tǒng)的輸出反饋控制問(wèn)題，文獻(xiàn)[7]利用狀態(tài)反饋的方法得到了極點(diǎn)在橢圓形區(qū)域中的不確定線性系統(tǒng)的充分條件。這幾篇文章討論的都是一般系統(tǒng)，未涉及到切換系統(tǒng)。

    本文研究了一類不確定切換系統(tǒng)，將其閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在一個(gè)給定的圓盤(pán)中，并設(shè)計(jì)了無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制器，最后采用基于LMI的處理方法得到了狀態(tài)反饋控制器存在的條件和反饋增益參數(shù).

2 問(wèn)題描述

    考慮如下的一類不確定切換系統(tǒng)

    （1）
   
    其中， 是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，是系統(tǒng)的控制輸入，是系統(tǒng)的控制輸出，是外部擾動(dòng)，，，，，是已知的具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣，，分別是狀態(tài)向量和控制輸入的不確定項(xiàng)，且滿足下面的形式

       （2）

   其中是具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣，是滿足 的未知矩陣，表示復(fù)平面上單位圓內(nèi)中心在 ，半徑為 的圓盤(pán)，其中和滿足 [8]。

    下面首先研究系統(tǒng)(1)的標(biāo)稱系統(tǒng)

        （3）

    本文的目的是設(shè)計(jì)一個(gè)無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制器

                        （4）

    使得對(duì)所有允許的擾動(dòng)，閉環(huán)系統(tǒng)

        （5）

    具有以下性質(zhì)：

    i) 所有閉環(huán)極點(diǎn)均位于預(yù)先給定的中心，半徑為，且滿足的圓盤(pán)中；

    ii) 從外部擾動(dòng) 到被控輸出的傳遞函數(shù)，滿足，其中。

    這樣的一個(gè)問(wèn)題就稱為是系統(tǒng)（3）的魯棒 鎮(zhèn)定問(wèn)題，控制器（4）稱為系統(tǒng)（5）的一個(gè)穩(wěn)定控制器。

    引理1給定矩陣，以及適當(dāng)維數(shù)的矩陣， 則 。對(duì)任意滿足 的 成立的充要條件是存在，使得 。

    引理 2[4] 對(duì)給定單位圓內(nèi)的圓盤(pán)和正常數(shù)，如果存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣，使得

        （6）

    其中，，則系統(tǒng)（5）具有性質(zhì)i)和ii)。

3 主要結(jié)論

    對(duì)系統(tǒng)（1）的標(biāo)稱系統(tǒng)（3）有如下的結(jié)論

    定理1對(duì)給定單位圓內(nèi)的圓盤(pán)和正常數(shù)，如果以下不等式成立

        （7）

    （*表示關(guān)于對(duì)角線的對(duì)稱矩陣）當(dāng)（7）式存在解和 時(shí)，，，則系統(tǒng)（5）存在具有穩(wěn)定控制器（4）。其中
   
    ，
    證明：對(duì)不等式（6）中的第一個(gè)不等式代入和 的表達(dá)式，經(jīng)整理并利用矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)可得到如下等價(jià)不等式

        （8）

    其中，

    代入和 的表達(dá)式，可知不等式（8）是非線性的，為了將非線性不等式（8）轉(zhuǎn)換成線性不等式，于是對(duì)不等式（8）左乘和右乘矩陣，并令， 即可得到不等式（8）等價(jià)于不等式（7），于是定理1得證。

    下面考慮不確定線性切換系統(tǒng)（1），同理，對(duì)系統(tǒng)（1）設(shè)計(jì)一個(gè)無(wú)記憶狀態(tài)反饋觀測(cè)器

        （9）

    則得到的閉環(huán)系統(tǒng)為

        （10）

    于是，對(duì)系統(tǒng)（10）我們有如下的結(jié)論

    定理 2對(duì)給定單位圓內(nèi)的圓盤(pán)和正常數(shù)和 ，如果以下不等式成立

    （11）

    當(dāng)（11）式存在解和時(shí)，，，則系統(tǒng)（1）存在具有穩(wěn)定控制器（10）。其中
    ， 
    ，。

    證明：對(duì)定理2的證明，只需將定理1中的用代替，并運(yùn)用引理1，結(jié)合矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)，即可得到結(jié)論，在此略去。

4 數(shù)值算例

    下面給出一個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)（1）的標(biāo)稱系統(tǒng)的數(shù)值算例。

    對(duì)于系統(tǒng)（3）
    ；；；；；
    ；；；；；
   

                                                圖1

    取， ，，根據(jù)定理1利用MATLAB求得

     ；

     ；

     ；

    該系統(tǒng)在初始狀態(tài) 和切換規(guī)則為1秒切換一次，應(yīng)用定理1，可以得到把各子系統(tǒng)極點(diǎn)配置在內(nèi)且漸近穩(wěn)定的結(jié)果，系統(tǒng)狀態(tài)如圖1所示。

5 結(jié)論

    本文研究了一類不確定切換系統(tǒng)具有圓盤(pán)極點(diǎn)約束的魯棒控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)都配置在制定的圓盤(pán)區(qū)域內(nèi)，得到了基于LMI的狀態(tài)反饋存在的充分條件，并通過(guò)MATLAB求解出了反饋增益參數(shù)，最后給出了一個(gè)具有兩個(gè)子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)的仿真數(shù)例，其結(jié)果證明了本文結(jié)論的有效性。



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