廖勇（1982—）
男，江西撫州人，碩士研究生，主要研究方向為廣義系統的魯棒控制。

摘要:首先利用線性矩陣不等式（LMI）方法，給出線性廣義時滯系統穩定的一個充分條件；然后討論廣義時滯系統的H_∞狀態反饋控制，給出控制器存在的充分條件，同時給出控制器的設計，控制器可由矩陣不等式解得。

關鍵詞：廣義時滯系統；線性矩陣不等式；H_∞控制

Abstract: Using the method of linear matrix inequality (LMI),H_∞ state feedback control problem for linear singular systems with time-delay in state is discussed. A sufficient condition which guarantees the asymptotical stability of the closed-loop system is given. Furthermore, one sufficient condition for the existence of an H∞ state feedback controller is shown. The controller can be obtained via solving matrix inequality.

Key words:Singular time-delay system; LMI; H_∞ control

    為適應近代科學技術的發展以及大型工程技術的需要，人們提出了非傳統數學模型描述的廣義系統。信息傳遞等因素致使系統普遍存在滯后現象[1,2]，因而人們又提出滯后廣義系統[3,4]。滯后廣義系統的結構相當復雜[4]，既不同于無滯后的廣義系統，又不同于通常的滯后系統。

    H_∞控制理論是魯棒理論的一個重要分支，近年來隨著無滯后線性系統H_∞理論的日趨成熟和完善，滯后線性系統的H∞理論也得到了相應的發展[5,6]。但由于廣義滯后系統結構的復雜性，致使對滯后廣義系統的H∞控制問題的研究仍處于初級階段[4]。本文利用線性矩陣不等式方法，討論一般的廣義時滯系統H∞控制問題，給出了問題可解的一個充分條件以及控制器設計。

1 問題描述與預備知識

    考慮如下線性廣義時滯系統
               
                （1）

    其中：為系統的狀態變量，為控制輸入，為干擾輸入，為控制輸出，為滯后常數，為任一連續的滿足相容性條件的初始函數，各系數矩陣為適維常陣。特別地，。不失一般性，假設，B_l和D_l都為零矩陣，否則可通過狀態擴維方式將系統（1）轉化為

   

    本文的目的是設計無記憶的狀態反饋

                  （2）

    其中為常陣，使得系統（1）與反饋控制器（2）構成的閉環系統
    
             (3)
             
    滿足如下條件：1）內穩定；2），其中：表示從干擾輸入W(t)到被控輸出Z(t)的傳遞函數，為給定常數。

    設有滯后廣義系統
　　　
                       （4）

    其中：為n×n奇異常數矩陣，

且連續，

    方程（4）的初始條件為

          （5）

    在給出穩定性概念之前，還需引用如下記號：

    1） 區間T_k=[0,t_k)，其中；

    2） m維連續可微向量函數q(t,x)在上有定義；

    3） s_k(t₀,t_k)為使得方程（4）至少在[t₀,t_k)上有連續解的所有相容初始函數的全體；

    4）。

    定義1[7]若，總存在，使得，方程（4）通過初始條件的解滿足和，則方程（4）的零解關于穩定。

    特別地，若僅與有關，而與t₀無關，則方程（4）的零解關于{q(t,x),T_k}一致穩定。

    定義2^[7]若方程（4）的零解關于是穩定的，且，有則稱方程（4）的零解關于漸近穩定。

    引理1^[8]給定矩陣 ,若,且, 則可 行 當 且 僅 當,  若（6）可 行，   記則（6）的所有可行解為其中,滿足,,其中，,的一個滿秩分解。

    引理2^[9]若存在矩陣和正定陣滿足
    
        （7）

    則系統（3）零解漸近穩定。

    引理 3[9] 若存在矩陣和正定陣滿足
    
                           （8）

    則閉環系統（3）內穩定且。

    引理4^[9]若存在矩陣,和正定矩陣滿足如下LMI不等式
       （9）

    其中，則系統（1）的H_∞控制問題有解，即系統（3）內穩定，且滿足H_∞范數界。此時控制器，其中。

2 主要結果

    定理1  若存在矩陣和正定陣滿足

   

    則系統（3）零解漸近穩定。

    其中，。

    證明 引理2中（7）的第二個不等式等價于下式

   

    則將引理1的結果應用于引理2即可得定理1。

    下面給出系統（3）內穩定且滿足H_∞范數界，即的一個充分條件。

    定理2  若存在矩陣和正定陣滿足

    

    則閉環系統（3）內穩定且。

    其中，,而且所有的矩陣P滿足以下兩式：
              （10）

      （11）

    其中，，滿足, ，其中,,是的一個滿秩分解。

    證明  ，因為正定，所以，則。將引理1中的結果應用到引理3即可證明定理2（證明略）。

    定理3 若存在矩陣,和正定矩陣滿足如下矩陣不等式

                       （12） 

    其中，,則系統（1）的H∞控制問題有解，即系統（3）內穩定，且滿足H_∞范數界。 

    證明   使用兩次Schur補引理可將（8）式簡化成下列不等式

    (Q+C^TC)+(A+BK)+(A+BK)^T+<0

    將引理1的結果應用到引理4即可得定理3。

參考文獻：

    [1]Hale J K. Theory of Functional Differential Equations[M].New York:Springer Verlag,1977.

    [2]劉永清，唐功友.大型動力系統的理論與應用——卷三：滯后、穩定與控制[M].廣州：華南理工大學出版社，1992.

    [3]Campbell S L. Singular Systems of Differential Equation[M].San Francisco:
Pitman,1980.

    [4]劉永清，謝湘生.大型動力系統的理論與應用——卷八：滯后廣義系統的穩定，鎮定與控制[M].廣州：華南理工大學出版社，1998.

    [5]Wen T, Yaling C. H∞-optimal control for descriptor systems[A]. Proc of 12th IFAC World Congress[C].Sydney,1993.2:201-204.

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    [7]劉永清，王偉，李遠清.大型動力系統的理論與應用——卷七：滯后廣義系統解的基本理論與應用[M].廣州：華南理工大學出版社，1997.

    [8]曾建平，張怡，車玲.一類線性矩陣不等式可行解集的構造.Proceedings of the 24th Chinese Control Conference[C].Guangzhou,P.R.China,2005.7:538-540.

    [9]馮俊娥，程兆林.線性廣義時滯系統的H∞狀態反饋控制器[J].控制與決策,2003,18(2):159-163.

    （廈門大學自動化系，福建  廈門  361005）  廖   勇，曾建平