兀旦暉（1981－）
男，陜西西安人，碩士，畢業于西安理工大學自動化與信息工程學院，主要研究領域為混沌在通信中的應用，現于陜西科技大學電氣與電子工程學院從事教學科研工作。
基金項目：陜西省教育廳專項科研計劃項目資助(05JK159); 陜西科技大學校級自然科學基金(2X05-41)

1 概述

    混沌保密通信的研究在國際上起源于二十世紀九十年代初期，現已經歷了十多年的時間，由于混沌信號自身所具有不可預測等特性，使得混沌保密通信具有極高的保密度，已成為目前信息科學界關注和研究的熱點之一。混沌同步的發現，使得理論應用于通信領域成為可能，開始了混沌同步在保密通信中應用的新階段。此后,國際上又相繼提出了一些新的同步方法，主要有:一般性同步、相同步和一致性同步，其中一致性同步又可分為驅動—響應同步、誤差—反饋同步、雙向耦合同步、連續控制同步和自適應同步等，混沌同步問題之所以得到廣泛的重視與研究，主要是它在混沌保密通信和擴頻通信等領域顯示出較好的應用前景，其中單向耦合同步在混沌通信中具有較大的應用價值。混沌系統同步對于混沌保密通信系統的實現以及信息傳輸速率的高低都有這極其重要的影響，所以，研究混沌同步有著重要的意義。

    本文在改進型Chua電路的基礎上，首先介紹了一種改進型Chua電路及其特性；分析了蔡氏電路中混沌吸引子的鍵波及螺旋表示方法；設計了一個基于Chua電路鍵波同步系統，通過實驗給出了混沌系統同步與混沌吸引子鍵波之間的關系，為混沌同步系統在保密通信的實際應用奠定了一定的基礎。

2 改進型Chua電路及其特性

    1983年，蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏電路,它是迄今為止在非線性電路中產生復雜動力學行為的最有效而簡單的混沌振蕩電路之一，如圖1所示。

圖1   Chua 電路

    利用模擬電感電路對Chua電路進行改進，取代了Chua電路中的線性電感部分。構造出改進型Chua電路，取得了良好的效果，研究表明所有特性與原系統完全一致。

3  蔡氏電路中混沌吸引子的鍵波及螺旋表示

    考慮一個三階自治系統X=F_(x)，根據Shil’nikov定理，如果系統的平衡點X_Q有一對穩定的復共軛特征值(<0,w!=0)和一個不穩定的實特征值r(r>0)，且，矢量場F_(x)就會存在一條通過平衡點X_Q的同宿軌道，然后通過改變系統的一個或多個參數而得到F的一個擾動F^'，這樣F^'就會存在橫截同宿軌道和馬蹄。橫截同宿軌道的存在意味著存在無窮多的任意長周期的不穩定周期軌道。進一步意味著系統X=F_(x)存在非周期解，即混沌軌道。
蔡氏電路的狀態方程可表示為

    

    式中G=1/Rf(V₁)=G_bV₁ + 0.5(G_a-G_b)[|V₁+E|-|V₁-E|],為蔡氏二極管N_R的伏安特性函數，其中Ga=-0.76ms，G_b=-0.41ms，E=1V。

    根據非線性電阻N_R的分段線性的特性，蔡氏電路矢量場可分為三個區域，V₁<-E，|V₁|<E，V₁>E，分別稱為D-1，D0，和D1，如圖3所示。

　　
    當 |V₁|<E 時，對應區域蔡氏電路狀態方程可表示為
   
　　式中，這個線性系統在原點處有一個單一的平衡

點，其穩定性由的特征值決

定。其特征多項式為。設蔡氏電路各元件的參數為L=18mH C₂=100nF，C₁=10nF，G=1/R=550s,當G=1/R=550s時，蔡氏電路已處于混沌狀態，可得的特征值為  

    從而使D₀相軌沿著區域中的不穩定實特征值r₀相對應的特征矢量E^r(0)的方位由，或者由，形成了蔡氏混沌吸引子的鍵波運動（及單向運動）。

    當 |V₁|>E 時，對應D₀區域蔡氏電路狀態方程可表示為
     
    式中G^'=G+G_b,I^'=(G_b-G_a)E。當V₁<-E時，對應D₁區域，當V₁>E時，對應D₁區域，其平衡點分別為P^-和P⁺，附近的穩定性可由
   
的特征值決定，其特征多項式為 
   
 ,設電路的參數已如前所述，可得的特征值為 

     

    可知在D₁和D_-1區域中，實特征值在平衡點相對應的特征矢量分別為E^r(P₊)和E^r(P_-)，而復共軛特征值在平衡點相對應的特征矢量所構成的平面分別為E^c(P₊)和E^c(P_-)，。由于r₁<0，>0，故在D₁和D_-1區域分別形成了兩個相對穩定的向外擴展的螺旋運動。

    綜上所述，蔡氏電路可產生一個雙螺旋混沌吸引子，其相軌跡圖和相對應的時域波形圖及鍵波圖分別如圖4，圖5，圖6所示。

    在D₁區域或D_-1區域中，可得：r₁≈-23284，=1022 ,w₁=19260。由此可得螺旋運動的基波分量的頻率為，則高次諧波分量為mf₁  （m=1,2,3……）

                       圖4  雙渦卷混沌吸引子相圖    圖5 雙渦卷混沌吸引子時域波形圖

圖6  混沌波形及其對應的鍵波

    L=18mH,R=1.7,C₁=10nF,C₂=100nF。 為蔡氏二極管，它由雙運放TL082組成，和6個電阻構成. 用雙電源供電，其伏安特性為分段線性函數，其中中間段的斜率為G_a=-0.72ms，其余兩段的斜率為G_b=-0.41ms，轉 折 點 電 壓 為E=1V。在圖7所示的實驗中，混沌同步的通道中串接了一個低通濾波器，其作用是濾除掉混沌信號的高頻分量，而允許低頻分量 （即鍵波分量）通過。實驗測得，R₀=0.5，C≤0.1F時，收發混沌仍能保持較好的同步，由此可得其上限截止頻率為 。

    實驗結果表明：

    （1）只傳送混沌同步信號的一分低頻信息（即鍵波分量），仍能使收發混沌保持良好同步。

    （2）混沌吸引子低頻分量的傳送對混沌信號步至關重要，它必須包含鍵波信號所產生的頻譜特征頻譜分量，才能保證收發混沌的同步。

    （3）只傳送鍵波產生的特征頻譜分量，濾除渦卷產生的高頻分量，混沌同步仍能保持，這不僅能滿足在實際信道中傳送同步信息的要求，還能提高混沌通信的保密性和信噪比。

    （4）當驅動信號在傳輸過程中有衰減時，系統仍能很好同步。這個性質對實際系統是十分重要的。

    （5）驅動響應系統的所有元器件參數相同，則不論兩系統初始值如何，很快達到完全同步。當兩系統的元器件參數有 5%以下誤差時，同步性能仍很好，因此驅動響應式 Chua電路混沌同步具有一定的魯棒性。

    （6）鍵波產生的低頻分量稱之為特征頻譜，它對同步至關重要。鍵波對外界信號（實際中表現為干擾和噪聲）中的低頻分量的干擾有較高的敏感性，對混沌的同步有很大的影響，而外界信號中的高頻分量由于渦卷的高頻基波相對穩定，對混沌的同步影響較小。

5  結束語

    本文介紹了一種改進型Chua電路及其特性；分析了蔡氏電路中混沌吸引子的鍵波及螺旋表示方法；設計了一個基于Chua電路鍵波同步系統；通過實驗給出了混沌系統同步與混沌吸引子鍵波之間的關系，為混沌同步系統在保密通信的實際應用奠定了一定的基礎。此外，采用何種方法進行混沌鍵波的同步控制，如何在混沌同步鍵波控制信號有較大衰減情況下保證系統的同步？都是非常令人感興趣并值得今后繼續探討研究的課題。