其中KP是比例增益，KI是積分增益，KD是微分增益。
    可見，PID控制器輸出的控制量u只是誤差信號的比例、積分、微分三部分分別乘以各自的增益參數以后的簡單相加，而各增益參數都是通過適當整定方法得出的常數，由此便體現出了PID控制律控制的局限性。因為控制系統的性能指標通常要根據工業生產過程對控制的要求來制定，這種要求可概括為穩定性、準確性和快速性，所以PID控制在實際應用中的局限性就是：其輸出是誤差信號的比例、積分、微分的線性組合，但線性組合并非最佳選擇，理論分析和大量實踐表明，“線性組合”常引起快速性和超調量之間的矛盾，即不能同時滿足既快速達到理想值同時又盡量減小超調量這兩個性能要求。另外，這種簡單的結構也決定其不可能對環境或控制對象模型參數的變化具有自適應能力。

可見傳統線性PID控制器在控制品質上的局限性，主要來自以下幾個方面：
    (1)  算法結構的簡單性決定了PID控制比較適用于SISO最小相位系統，在處理大滯后、開環不穩定過程等難控對象時，難以取得較好的控制效果，保證較好的動態性能。
    (2)  結構的簡單性同時決定了PID控制只能確定閉環系統的少數主要零極點，閉環特性從根本上是基于動態特性的低階近似假定的。
    (3)  出于同樣原因，決定了常規PID控制器無法同時滿足快速跟蹤設定值和抑制擾動的不同性能要求。
    由于以上原因，單純的線性PID控制并不是大滯后系統的最佳控制策略，而且誤差的比例、積分、微分三部分的線性組合始終無法克服快速性和超調量之間的矛盾，故本文在此基礎上，采用了一種新型的PID控制方法―非線性PID，以期既能兼顧傳統PID的優點又能改善其在對大滯后對象進行控制時的控制效果。

3  非線性PID控制器

    要得到非線性PID，顧名思義就是找到合適的非線性函數對輸出控制量的計算公式進行改進，使控制器的控制量輸出不再是控制誤差比例、積分、微分三部分的單純的線性相加，從而有望克服傳統PID的局限性。具體的方法可以是通過非線性函數對e、、分別進行轉化，也可以利用非線性函數對它們的增益參數K_P、K_I、K_D進行非線性轉換。
    本文采用的非線性PID的基本原理為：根據系統階躍響應曲線，分段分析PID控制器增益參數K_P、K_I、K_D應有的變化趨勢，分別得出它們能夠滿足系統動態性能要求的曲線形狀，并由此選擇合適的非線性函數，本文采用了雙曲正割函數sech()和指數函數exp()來擬合這一曲線，使K_P、K_I、K_D成為隨e(t)變化的變量，且其變化趨勢符合人們想達到的更高性能指標的要求。 

具體實現方法如下。

圖1是一般的系統階躍響應曲線，根據該曲線可以分析非線性PID控制器增益參數的構造思想。

圖1  一般系統階躍響應曲線

設計原理如下：

(1)  比例增益參數KP
    在響應時間0≤t≤t₁段，為保證系統有較快的響應速度，比例增益參數K_P在初始時應較大，同時為了減小超調量，希望誤差e逐漸減小時，比例增益也隨之減小；在t₁≤t≤t₂段，為了增大反向控制作用，減小超調，希望KP逐漸增大；在t₂≤t≤t₃段，為了使系統盡快回到穩定點，并不再產生大的慣性，期望KP逐漸減小；在t₃≤t≤t₄段，期望KP逐漸增大，作用與t₁≤t≤t₂段相同。顯然，按上述變化規律，隨誤差e變化的大致形狀如圖2(a)所示，根據該圖可以構造如下非線性函數：

    式中，a_p，b_p，c_p為正實常熟。當誤差e→∞時，KP取最大值為a_p＋b_p；當e＝0時，KP取最小值為a_p；b_p為KP的變化區間，調整c_p的大小可調整KP變化的速率。

(2)  微分增益參數KD

    在響應時間0≤t≤t₁段，微分增益參數KD應由小逐漸變大，這樣可以保證在不影響響應速度的前提下，抑制超調的產生；在t₁≤t≤t₂段，繼續增大K_D，從而增大反向控制作用，減小超調量。在t₂時刻，減小微分增益參數K_D，并在隨后的t2≤t≤t4段再次逐漸增大K_D，抑制超調的產生。根據KD的變化要求，在構造KD的非線性函數時應考慮到誤差變化速率ev的符號。KD的變化形狀如圖2(b)所示，所構造的非線性函數為：

    式中，為誤差變化速率， a_d，b_d，c_d，d_d為正實常熟，a_d為 的最小值，a_d＋b_d為 的最大值，當e＝0時，，調整d_d的大小可調整K_D的變化速率。

(3)  積分增益參數KI

    當誤差信號較大時，希望積分增益不要太大，以防止響應產生振蕩，有利于減小超調量；而當誤差較小時，希望積分增益增大，以消除系統的靜態誤差。根據積分增益的希望變化特性，積分增益參數KI的變化形狀如圖2(c)所示，其非線性函數可表示為：
 
    式中，KI的取值范圍為（0，a_i），當e＝0時，K_I取最大值。c_i的取值決定了K_I的變化快慢程度。
則非線性PID調節器的控制輸入為：

    由上述分析可知，如果非線性函數中的各項參數選擇適當，就能使控制系統既響應快，又無超調現象。另外，由于非線性PID調節器中的增益參數能隨控制誤差變化，因而其抗干擾能力，克服由大滯后對象的滯后特性帶來的影響能力也比常規線性PID強，比常規線性PID更加智能，有更強的自適應能力和魯棒性，即便工況發生一定變化仍能保持較好的控制品質，更適用于諸如大滯后系統等工況更加復雜的控制場合。

(a)  KP變化曲線     (b)  KD變化曲線        (c)  KI變化曲線
圖2  非線性增益調節參數變化曲線

4  溫度控制實驗結果及分析

    根據前面的研究和分析，考慮將該非線性控制方法用于對溫度這一工業控制中常見的具有大滯后特性的物理量進行控制。溫度是工業控制的主要對象之一，其控制對象很多，且不盡相同。但工業中的溫度對象一個較為普遍的特點就是它們大都含有純滯后環節，容易引起系統超調和持續的振蕩。除此之外，溫度控制對象的參數一般會發生幅度較大的變化，從而導致溫度對象數學模型的不斷變化。這種隨機產生和不可準確預計的變化，無疑地增加了溫度控制的難度。
    因此，對于這種工況不斷發生變化且具有大滯后特性的控制場合，采用前面描述的非線性PID控制器，以其優于常規線性PID控制器的自適應能力和更完善的控制性能定能取得更好的控制效果。
    本文采用貝加萊2003 PCC作為控制器，通過B&R Automation Studio操作系統進行編程，利用非線性控制算法對陶瓷加熱片進行加熱實驗（系統結構如圖3所示）。通過溫度傳感器采集陶瓷片的實際溫度送入PCC的溫度模擬量輸入模塊，并與溫度設定值進行比較得出偏差，代入非線性PID控制算法算得控制量，再通過輸出量計算程序將該控制量轉化為數字量控制加熱器的加熱頻率，即一個控制周期內加熱時間的占空比，同時可在Automation Studio環境下對控制過程進行監控，繪制trace曲線圖。

圖3  陶瓷片加熱溫控實驗系統結構圖

以下是實驗過程中實際溫度變化響應的trace曲線圖。

圖4  溫度跟蹤曲線示意圖

上圖：非線性PID  下圖：常規PID