王莉 王慶林

1  引言

        Lyapunov函數在非線性控制系統的設計中有著極其重要的作用。長期以來，關于Lyapunov穩定性理論雖取得了很多結果，但不存在一般性的構造Lyapunov函數的有效方法^[1]。20世紀80年代，A.Saberi、P.V.Kokotovic和H.J.Sussmann等人對部分線性的嚴格反饋系統提出所謂Backstepping設計方法^[2]。這種方法采用Backstepping（反向遞推）設計，在每一步把狀態坐標的變化、不確定參數的自適應調節函數和一個已知Lyapunov函數的虛擬控制系統的鎮定函數等聯系起來，通過逐步修正算法設計鎮定控制器，實現系統的全局調節或跟蹤。它適用于可狀態線性化或嚴格參數反饋的不確定性系統，可以方便的使用符號代數軟件來實現^[3]。因此，Backstepping設計方法在近年來引起了有關學者的高度重視，在第十四屆IFAC世界大會及1999年美國控制會議ACC上，有近50篇論文涉及到Backstepping設計方法在不確定系統及各種對象中的理論與應用研究^[3]。

        Backstepping設計方法有兩個主要的優點：(1) 它通過反向設計（recursive design）使系統的Lyapunov函數和控制器的設計過程系統化、結構化；(2) 可以控制相對階為n的非線性系統，消除了經典無源性設計中相對階為1的限制^[2]。因此，Backstepping設計方法一經提出，便得到廣泛的關注，并被推廣到自適應控制、魯棒控制等領域。

        Backstepping設計方法首先是針對單輸入系統提出的，后來被推廣到多輸入系統，但它存在如下兩個潛在的問題：(1) 系統結構需要滿足所謂塊嚴格反饋（block strict feedback）條件；(2) 數學結構復雜（Algebraically complex），尤其當模型因具有不確定性而存在非線性阻尼（nonlinear damping）時^{[注1：Sliding Mode Control, I/O Linearization, Integrator Backstepping and Dynamic Surface Control. Disscussion#11. ME237-Control of Nonlinear Dynamic Systems. Anouck Girard. April 15th, 2002]。}

        本文將主要介紹Backstepping設計方法在線性系統和非線性系統中的具體實現，以便讀者了解Backstepping設計方法的基本思想及其運算過程。本文最后還簡單介紹了Backstepping設計方法的應用情況。

2  Backstepping設計方法

        Backstepping的設計思想是：針對滿足嚴格反饋控制結構的系統，通過Backstepping

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