李鐘慎：華僑大學(xué)機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院

    控制系統(tǒng)常用的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)包括三個(gè)方面：①過(guò)渡過(guò)程的品質(zhì)指標(biāo)，如超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間、上升時(shí)間等；②正定二次型積分泛函；③誤差泛函積分評(píng)價(jià)指標(biāo)，是以控制系統(tǒng)的誤差函數(shù)e(t)為泛函的積分評(píng)價(jià)，包括IE、ISE、ISTE、IAE、ITAE等。其中，ITAE性能指標(biāo)又以較好的實(shí)用性和選擇性得到了廣泛的應(yīng)用，許多文獻(xiàn)把ITAE看作是單輸入單輸出控制系統(tǒng)和自適應(yīng)控制系統(tǒng)的最好性能指標(biāo)之一[1]。應(yīng)用Parseval定理并借助計(jì)算機(jī)可以求出位移無(wú)靜差、勻速無(wú)靜差、勻加速無(wú)靜差I(lǐng)TAE最優(yōu)傳遞函數(shù)，其中位移無(wú)靜差I(lǐng)TAE最優(yōu)傳遞函數(shù)具有較好的平穩(wěn)性和快速性，是一組適用于工程控制系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)。本文將以位移無(wú)靜差I(lǐng)TAE最優(yōu)傳遞函數(shù)為例研究1~8階ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)分布、時(shí)域響應(yīng)和頻域響應(yīng)，ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式系數(shù)與加權(quán)矩陣的關(guān)系等。

    1  ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)

    ITAE準(zhǔn)則即時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分準(zhǔn)則是最常用的目標(biāo)函數(shù)之一，它表示為
                                                 （1）

    如果把誤差e(τ)組成的泛函看成是一種“損失函數(shù)”，那么，式（1）的積分指標(biāo)就可以看成是控制系統(tǒng)由一個(gè)狀態(tài)變換到另一個(gè)狀態(tài)時(shí)，以某種損失為最小代價(jià)實(shí)現(xiàn)它的控制目的，這時(shí)就認(rèn)為這個(gè)系統(tǒng)具有某種最優(yōu)控制律。因此，式（1）的積分JITAE取極小值，就說(shuō)該系統(tǒng)具有ITAE最優(yōu)控制。它對(duì)誤差e(τ)加以時(shí)變?chǔ)拥臋?quán)，在過(guò)渡過(guò)程之初，τ→0，權(quán)τ對(duì)e(τ)的影響極小；在對(duì)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能影響最大的中間段τ∈[τ0，τt]，隨著權(quán)τ的增加，逐漸加強(qiáng)對(duì)e(τ)的權(quán)τ的作用，以抑制誤差的增大，促進(jìn)它加快收斂，因此，ITAE最優(yōu)控制具有快速而又平穩(wěn)的過(guò)渡過(guò)程。

    應(yīng)用Parseval定理并借助計(jì)算機(jī)可以求出ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)。ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)為
                                                 （2）

    表1給出了式（2）中ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的系數(shù)[1]。

    表1 ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的系數(shù)

    令        ，可得歸一化的ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)為
                                                 （3）

    2  ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)分布

    根據(jù)式（3）和表1的歸一化的ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)，采用MATLAB可以繪制出1~8階ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)分布圖，

    如圖1所示，圖1中的“ｏ”表示極點(diǎn)。

    從圖1(a)、(b)可以看出1～2階歸一化ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)分布在單位圓上，分布情況與歸一化Butterworth最優(yōu)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)分布相同。

    從圖1(c)、(d)、(e)、(f))可以看出3～6階歸一化ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)改善性能的方法主要是通過(guò)增大主導(dǎo)極點(diǎn)的模來(lái)減小系統(tǒng)過(guò)渡時(shí)間；減小主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼角，即增大其與虛軸的夾角，來(lái)減小系統(tǒng)的超調(diào)。并且，為了使穩(wěn)態(tài)誤差為零必須減小其它非主導(dǎo)極點(diǎn)的模。

    從圖1(g)7階歸一化ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)分布圖知，主導(dǎo)極點(diǎn)十分接近虛軸。必然使得系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間大大延長(zhǎng)。
從圖1(h)8階歸一化ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)分布圖知，2個(gè)極點(diǎn)分布在負(fù)實(shí)軸上。由于主導(dǎo)極點(diǎn)靠近虛軸，系統(tǒng)穩(wěn)定性也被削弱。

    3  ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)時(shí)域與頻域響應(yīng)

    通過(guò)編寫(xiě)程序，繪出1～8階歸一化ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的階躍響應(yīng)圖，如圖2所示。
   

(c) n=3 

 圖2 歸一化ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的階躍響應(yīng)圖

    表2 歸一化ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的性能指標(biāo)

 圖3 歸一化ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的Bode圖

    按文獻(xiàn)[6]的方法，文獻(xiàn)[6]所給例子的加權(quán)矩陣Q如表3所示。從表3可以看出，加權(quán)矩陣Q主對(duì)角線的元素與ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的系數(shù)有一定的關(guān)系，不同的系數(shù)體現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)重視程度的不同。

    5  結(jié)語(yǔ)

    從ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)分布、時(shí)域響應(yīng)和頻域響應(yīng)可以看出，2~6階位移無(wú)靜差I(lǐng)TAE最優(yōu)傳遞函數(shù)都具有較好的平穩(wěn)性和快速性。二次型性能指標(biāo)中的加權(quán)矩陣Q主對(duì)角線的元素與ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的系數(shù)有一定的關(guān)系。這些研究結(jié)果將大大促進(jìn)ITAE最優(yōu)傳遞函數(shù)的廣泛應(yīng)用，為進(jìn)一步研究ITAE最優(yōu)控制問(wèn)題打下良好的基礎(chǔ)。

    其他作者：王永初（1937―），男，華僑大學(xué)機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)檫^(guò)程控制。

    參考文獻(xiàn)

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    [6] 李鐘慎,洪健,王永初.ITAE最優(yōu)控制的逆問(wèn)題[J].華僑大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,26(4):404-407.